Introdução

 

O vídeo “Winning at rock paper scissors”, do canal Numberphile, trata do estudo realizado por matemáticos chineses “Social cycling and conditional responses in the Rock-Paper-Scissors game”, onde é explorada a melhor estratégia para se vencer no jogo pedra, papel e tesoura, com base em análises comportamentais e probabilísticas do jogo. Após assistir o vídeo e ler o estudo sobre o assunto, indagamo-nos se seria possível fazer um estudo sobre outro jogo, após discutir sobre o assunto, chegamos a conclusão que o jogo de adedonha seria um objeto de estudo interessante para ser analisado.

Uma das formas mais comuns de se escolher “aleatoriamente” uma pessoa dentro de um grupo é se fazendo um jogo de adedonha, também conhecido como “zerinho ou um americano” ou “contagem”. O jogo funciona da seguinte maneira: define-se alguém para realizar a contagem, os jogadores escolhem um número, geralmente entre 0 e 5 ou 0 e 10, soma-se todos os números jogados e o jogador responsável pela contagem, começando por ele mesmo, conta de 1 ao resultado da soma feita anteriormente, digamos que, por exemplo, o resultado da soma foi 12, isso significa que o jogador que ficar com o número 12 na contagem, é o selecionado.

Mas como saber se as chances de cada jogador ser escolhido são iguais? Em outras palavras, esse jogo é justo? Se esse jogo for injusto, como aumentar minhas chances de obter um resultado favorável?

O objetivo deste estudo é, utilizando conceitos de contagem, probabilidade e estatísticas, buscar responder essas e perguntas acerca de nosso objeto de estudo.

O presente trabalho foi desenvolvido por alunos que cursam atualmente o segundo ano do ensino técnico integrado ao ensino médio, e experimentalmente tratado entre os alunos da mesma instituição na qual estudam.

 

 

CAMINHOS METODOLÓGICOS, RESULTADOS E DISCUSSÃO

 

O trabalho foi desenvolvido em duas partes: a primeira teórica e a segunda prática. Para a parte teórica, primeiramente, foi realizada uma análise empírica sobre jogos simples de adedonha (com três jogadores). Nesta etapa, verificamos que havia um padrão (simetria) entre os valores jogados, a medida que se aproximavam do valor médio. Na pesquisa bibliográfica, tomou-se conhecimento de processos de contagem e da obtenção da seguinte fórmula, em que, para se obter o total de somas  que resultam em um número  (soma total dos números jogados) para  jogadores:

 

 

Onde,  e, se , a equação se torna a seguinte:

 

Encontrado os valores de  para , e organizando-os em um gráfico de , obtém-se um gráfico com características geométricas semelhantes às de uma distribuição normal de Gauss (Fig.1). Argumentos sobre tal semelhança encontram-se no TCC “Probabilidade da soma de dados: soluções, generalização e aproximação pela normal”

Figura 1 – Exemplo de gráfico típico de uma distribuição normal de Gauss

 

Assim, o(s) número(s) que se localizarem em , terão maiores chances de serem selecionados, ao passo que os que estiverem mais próximos das extremidades da curva, terão menos chances de serem selecionados.

Fazendo a correspondência entre cada jogador e o número que o elimina, e somando  para tais números, observamos que esta também, de fato, tem características semelhantes as da distribuição normal de Gauss, como mostra a tabela a seguir:

 

 

Posição do jogador

Total de possibilidades que o selecionam

Porcentagem de possibilidades que o selecionam

1

10156

15,89%

2

10842

16,96%

3

11981

18,74%

4

10842

16,96%

5

10156

15,89%

6

9931

15,53%

Tabela 1 - Probabilidade de seleção de cada jogador em um jogo com 6 participantes

 

Ao colocarmos os dados no gráfico, obtemos:

Gráfico 1 – Número de somas que eliminam certo jogador em um jogo com 6 participantes

 

 

Nesse caso, podemos perceber que o jogador da posição 3 tem maior probabilidade de ser selecionado que os demais.

Para obter os dados utilizados, escrevemos um programa, utilizando o Python, versão 3.7.2 para automatizar os cálculos, para tornar o processo mais rápido e evitar erros matemáticos.

Para a parte experimental do trabalho, foram organizados jogos de adedonha, registrou-se os números jogados por cada jogador ao longo de 5 rodadas, e os vencedores de cada rodada, com isso, é possível determinar a probabilidade de cada número ser jogado por determinado jogador em uma das rodados, podendo-se obter assim a probabilidade real que um jogador tem de ser selecionado em qualquer rodada.

Analisando os dados obtidos, observamos se há padrão de comportamento entre aqueles que estão ganhando ou entre aqueles que estão perdendo, a cada rodada.

 

CONCLUSÕES

 

            Com base na análise dos gráficos e da tabela, pode-se concluir que o jogo de adedonha não é justo, já que na maioria dos casos haverão jogadores que se beneficiarão e outros que se prejudicarão de acordo com suas posições. Assim, se o objetivo for ser escolhido na brincadeira, para um número par de jogadores, a melhor posição para se estar é  e a pior é logo antes do jogador que iniciou a contagem. Já para um número ímpar de jogadores, há duas posições em que há maiores chances de ser selecionado, que são  , e a que tem menor chance continuará sendo o da posição logo antes do que iniciar a contagem, porém, quanto menos jogadores houver, mais justo é o jogo.

 

REFERÊNCIAS

·         WANG, Zhijian; XU, Bin; ZHOU, Hai-Jun. Social cycling and conditional responses in the Rock-Paper-Scissors game. 2014. 21f. Artigo - Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China, 2014

·         WINNING at Rock Paper Scissors - Numberphile. [S. l.]: YouTube, 2015. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=rudzYPHuewc. Acesso em: 25 abr. 2019.

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