Alunos de uma turma de 1º ano de Ensino Médio do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo – Ifes, campus Vitória, exploram propriedades de números racionais e irracionais a partir de suas pesquisas sobre a Espiral de Teodoro. Teodoro de Cirene foi um matemático e filósofo grego considerado pioneiro no estudo da irracionalidade das raízes dos números naturais não-quadrados. Ele foi o responsável pela elaboração de uma maneira de se construir um segmento de reta de medida irracional, a partir da espiral, também conhecida como Espiral Pitagórica. Medindo-se um comprimento com auxílio de uma régua graduada não é provável encontrar como medida um número como . De fato, o númeronão é um número inteiro nem pode ser obtido pela razão de dois números inteiros, já que é um número irracional. Experimentos como o uso da régua podem dar a impressão de que não é possível se obter um segmento cuja medida seja um número irracional. Junte-se a isso o fato de que na sua forma decimal, um número irracional possui infinitas casas decimais não-periódicas. Contudo, já os pitagóricos no século V a.C. sabiam que a razão entre a diagonal e o lado de um quadrado não é uma razão entre números inteiros. Em linguagem atual, dizemos que a medida da diagonal de um quadrado de lado unitário é um número irracional. Dizemos queé um número construtível pois é possível construir, com régua e compasso, um segmento de comprimentoa partir de um segmento de comprimento 1. Por volta de 425 a.C., Teodoro de Cirene partiu da construção, já conhecida, dae obteve segmentos de comprimento, e assim sucessivamente, ao construir a espiral que ficou conhecida pelo seu nome. A espiral é uma figura obtida de uma sequência de triângulos retângulos com um vértice comum, em que o primeiro é isósceles de catetos unitários e em cada triângulo retângulo sucessivo um cateto é a hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto (oposto ao vértice comum) tem comprimento unitário. Embora Teodoro tenha feito apenas 16 iterações na construção da espiral, o processo pode se estender indefinidamente obtendo-se assim a construção de segmentos de comprimento , para qualquer n natural maior que 1. Em 1958, foi provado que nunca haverá uma hipotenusa sobreposta a outra, não importa a quantidade de triângulos desenhados. Entre as contribuições de Teodoro de Cirene está o equivalente ao que hoje chamamos de demonstração da irracionalidade dos números ,,,,,,,,,,,. Enquanto viajam pelo tempo partindo da Grécia Antiga, os visitantes terão a oportunidade de construir a Espiral de Teodoro e verificar esta e outras propriedades dos números construídos ao longo da exposição.